【正确答案】可利用特征值的性质即命题2．5．2．1求a，也可利用特征多项式求a．
再利用命题2．5．3．2(3)判别A是否可相似对角化，只需考查二重特征值是否有两个线性无关的特征向量．
(1)求a的值．A的特征多项式为

=(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)．
若λ₁=λ₂=2是特征方程的二重根，则由命题2．5．2．1得到
1+4+5=2+2+λ₃，
则λ₃=6．于是A的特征值为2，2，6．易求得∣A∣=6(a+6)．再利用命题2．5．2．1得
λ₁λ₂λ₃=2×2×6=∣A∣=6(a+6)， 即 a=一2．
或者，若λ=2是特征方程的二重根，由式①知，必有2²一8×2+18+3a=0，解得a=一2．
若λ=2不是特征方程的二重根．设λ₀为其二重根，则由命题2．5．2．1有2+λ₀+λ₀=1+4+5，即λ₀=4．于是A的特征值为2，4，4．再用命题2．5．2．1得
2×4×4=∣A∣=6(a+6)， 解得 a=一2／3．
或者，当λ=2不是特征方程的二重根时，则由式①知λ²一8λ+18+3a必为完全平方，即18+3a=(8／2)²，解得a=一2／3．
(2)讨论A是否可相似对角化．
当a=一2时，A的特征值为2，2，6，特征矩阵2E—A=的秩为1，故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有两个．由命题2．5．3．2(3)知，A可相似对角化．
当a=一2／3时，A的特征值为2，4，4，特征矩阵4E—A=