选择题 1.设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ).
【正确答案】 B
【答案解析】由题设有Aα=λα,且AT=A.令B=(P-1AP)T,则
B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1, A=(PT)-1BPT
故Aα=(PT)-1BPTα,即(PT)-1B(PTα)=λα.两边乘以PT得到B(PTα)=λPTα.如能证明PTα≠0,则PTα为B的属于λ的特征向量.
事实上,如PTα=0,则由P为可逆矩阵知,PT也为可逆矩阵,于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0,即a=0.这与a≠0矛盾.仅B入选.