【正确答案】(1)由题设A²=A，故A²－A=A(A－E)=(A－E)A=O，故
r(A)+r(A－E)≤n．
又 r(A)+r(A－E)=r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n，
故r(A)+r(A－E)=n．
设r(A)=r，r(A－E)=n－r．
因(A－E)A=O，r(A)=r，A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r．
又A(A－E)=O，r(A－E)=n－r，A－E中n－r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量，记为η₁，η₂，η₃，…，η _n－r ，不同特征值对应的特征向量线性无关．
故取P= (ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁，η₂，…，η _n－r )，P可逆，且

(2)
满足上一题的条件，由上知
r(A)=1，A的线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量．
r(A－E)=2，的线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量．