问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f'+(a)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(a)＜0．
【正确答案】因为
，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，
有
，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．
由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得
再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得
，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有
，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得
再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得【答案解析】[考点] 中值定理的应用