【正确答案】(Ⅰ)由于[*],所以
[*]
且其成立范围为[-1,1].
由此可知,和函数S(x)=xln(1+x2),它的定义域为[-1,1].
(Ⅱ)记[*],则F(x)在[-1,1]上连续,在(-1,1)内可导且
[*]
此外,[*],所以方程F(x)=0,即[*]在[-1,1]有且仅有一个实根,
【答案解析】题解中有以下两点值得注意:
(Ⅰ)题中利用公式[*]计算幂级数的和函数,并确定和函数的定义域,十分快捷.
(Ⅱ)当函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根;
当函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内单调,且f(a)f(b)<0时,方程f(x)=0在(a,b)内有且只有一个实根.