填空题
若二阶常系数线性齐次微分方程2y"+ay"=0和y"-by=0有同一解y=e
2x
，则非齐次方程y"+ay"+by=e
2x
的通解为y= 1．
【正确答案】
【答案解析】
，其中C
1
，C
2
为任意常数
[解析] 由题设条件可知二次方程2λ
2
+aλ=0与λ
2
-b=0有共同的一个解λ=2，所以b=4，a=-4．齐次微分方程为y"-4y"+4y=0，其通解是y=(c
1
+c
2
x)e
2x
．
求非齐次微分方程y"-4y"+4y=e 2x 的一个特解：
由非齐次项设特解Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程为y"-4y"+4y=e 2x ，得
A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x ．
比较系数，得
，故其特解为
，通解为
，其中C
1
，C
2
为任意常数
[解析] 由题设条件可知二次方程2λ
2
+aλ=0与λ
2
-b=0有共同的一个解λ=2，所以b=4，a=-4．齐次微分方程为y"-4y"+4y=0，其通解是y=(c
1
+c
2
x)e
2x
．
求非齐次微分方程y"-4y"+4y=e 2x 的一个特解：
由非齐次项设特解Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程为y"-4y"+4y=e 2x ，得
A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x ．
比较系数，得
，故其特解为
，通解为