解答题
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(
问答题
12.(I)试求曲线L的方程；
【正确答案】设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y一y=y'(X一x)，令X=0，则Y=－xy'+y，即它在y轴上的截距为－xy'+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为
。故由题设条件得
一xy'+y=
(x＞0)，
即得
y'=
(x＞0)，
此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则
，代入上式，方程变为
。故由题设条件得一xy'+y=
(x＞0)，即得
y'=
(x＞0)，此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则
，代入上式，方程变为【答案解析】
问答题
13.(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
【正确答案】由(I)知曲线的方程为y=
一x2，则y'=一2x，点P(x，y)=P(x，
一x2)，所以在点P处的切线方程为
Y一(
一x2)=一2x(X一x)，
分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x2+
。
此切线与两坐标轴围成的三角形面积为
A(x)=
(4x2+1)2，x＞0。
由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为
S(x)=A(x)一S0=
(4x2+1)2一S0，
求最值点时与S0无关，而
S'(x)=
，
令S'(x)=0，得x=
，S'(x)＞0。
根据极值存在的第一充分条件知，x=
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为
一x2，则y'=一2x，点P(x，y)=P(x，一x2)，所以在点P处的切线方程为Y一(
一x2)=一2x(X一x)，分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x2+
。此切线与两坐标轴围成的三角形面积为
A(x)=
(4x2+1)2，x＞0。由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为
S(x)=A(x)一S0=
(4x2+1)2一S0，求最值点时与S0无关，而
S'(x)=
，令S'(x)=0，得x=
，S'(x)＞0。根据极值存在的第一充分条件知，x=
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为【答案解析】