解答题 设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(
问答题 12.(I)试求曲线L的方程;
【正确答案】设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Y一y=y'(X一x),令X=0,则Y=-xy'+y,即它在y轴上的截距为-xy'+y。根据距离公式,点P(x,y)到坐标原点的距离为。故由题设条件得
一xy'+y=(x>0),
即得
y'=(x>0),
此为一阶齐次微分方程,令y=μx,则,代入上式,方程变为
【答案解析】
问答题 13.(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
【正确答案】由(I)知曲线的方程为y=一x2,则y'=一2x,点P(x,y)=P(x,一x2),所以在点P处的切线方程为
Y一(一x2)=一2x(X一x),
分别令X=0,Y=0,解得在y轴,x轴上的截距分别为x2+
此切线与两坐标轴围成的三角形面积为
A(x)=(4x2+1)2,x>0。
由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记为S0,于是题中所求的面积为
S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2一S0
求最值点时与S0无关,而
S'(x)=
令S'(x)=0,得x=,S'(x)>0。
根据极值存在的第一充分条件知,x=是S(x)在x>0时的唯一极小值点,即最小值点,于是所求切线方程为
【答案解析】