(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x
2
+y
2
)+e
x
一xy
2
=0所确定，求
；
(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x
3
+y
3
一sin3x+6y=0所确定，求dy｜
x=0
=0；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f'≠1，求
；
(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x
3
+y
3
一sin3x+6y=0所确定，求dy｜
x=0
=0；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f'≠1，求
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y'即可．由 (2x+2y．y')cos(x
2
+y
2
)+e
x
一y
2
—2xy．y'=0， 得
(Ⅱ)先用隐函数求导法求出y'，再求微分dy=y'dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得 3x
2
+3y
2
y'一3cos3x+6y'=0． 又y｜
x=0
=0，上式中令x=0，y=0解得y｜
x=0
=
． (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f'(x+y)均是x的复合函数． 将Yy=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y'=f'．(1+y')，即y'=
． 又由y'=(1+y')f'再对x求导，并注意y'是x的函数，f'仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y')'y'+(1+y')(f')’ =y"f'+(1+y')f"．(1+y') =y"f'+(1+y')
2
f"，
(Ⅱ)先用隐函数求导法求出y'，再求微分dy=y'dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得 3x
2
+3y
2
y'一3cos3x+6y'=0． 又y｜
x=0
=0，上式中令x=0，y=0解得y｜
x=0
=
． (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f'(x+y)均是x的复合函数． 将Yy=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y'=f'．(1+y')，即y'=
． 又由y'=(1+y')f'再对x求导，并注意y'是x的函数，f'仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y')'y'+(1+y')(f')’ =y"f'+(1+y')f"．(1+y') =y"f'+(1+y')
2
f"，
【答案解析】