解答题
23.[2005年] 设D={(x，y)｜x2+y2≤
，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分
，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分
【正确答案】因被积函数需分区域表示，其二重积分需分块计算．在D上xy[1+x2+y2]=
将积分区域分成两块D=D1∪D2，其中
D1={(x，y)｜x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤
，x≥0，y≥0}，
则
考虑到D1为部分圆域，D2为环形域，作极坐标变换，有
D1={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，0≤r≤1}，D2={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，1≤r≤21/4}．
故
将积分区域分成两块D=D1∪D2，其中
D1={(x，y)｜x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤
，x≥0，y≥0}，则
考虑到D1为部分圆域，D2为环形域，作极坐标变换，有
D1={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，0≤r≤1}，D2={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，1≤r≤21/4}．
故
【答案解析】