【答案解析】[证法一] 由于A,B均是正定矩阵,知A
T
=A,B
T
=B,那么
所以,矩阵C是对称矩阵.由于
可知矩阵A的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
m
与矩阵B的特征值μ
1
,μ
2
,…,μ
n
就是矩阵C的特征值.
因为矩阵A,B均正定,所以λ
i
(i=1,2,…,m),μ
j
(j=1,2,…,n)均为正数,即矩阵C的特征值全大于零,故矩阵C正定.
[证法二] 矩阵C对称同前,略.
设x=(x
1
,x
2
,…,x
m
,x
m+1
,…,x
m+n
)
T
=

,其中X
1
=(x
1
,x
2
,…,x
m
)
T
,X
2
=(x
m+1
,x
m+2
,…,x
m+n
)
T
,那么,

,必有X
1
,X
2
不同时为0.不妨设X
1
≠0,由于
因为A正定,有

,由B正定知

,所以,

,恒有x
T
Cx>0,即C是正定矩阵.
[证法三] C对称同前,略.
因为A,B分别是m阶,n阶正定矩阵,故存在m阶与n阶可逆矩阵D
1
与D
2
,使得
那么,令

,则|D|=|D
1
||D
2
|≠0,D是可逆矩阵,且
