问答题 设A,B分别是m阶与n阶正定矩阵,证明
【正确答案】
【答案解析】[证法一] 由于A,B均是正定矩阵,知A T =A,B T =B,那么

所以,矩阵C是对称矩阵.由于

可知矩阵A的特征值λ 1 ,λ 2 ,…,λ m 与矩阵B的特征值μ 1 ,μ 2 ,…,μ n 就是矩阵C的特征值.
因为矩阵A,B均正定,所以λ i (i=1,2,…,m),μ j (j=1,2,…,n)均为正数,即矩阵C的特征值全大于零,故矩阵C正定.
[证法二] 矩阵C对称同前,略.
设x=(x 1 ,x 2 ,…,x m ,x m+1 ,…,x m+n ) T = ,其中X 1 =(x 1 ,x 2 ,…,x m ) T ,X 2 =(x m+1 ,x m+2 ,…,x m+n ) T ,那么, ,必有X 1 ,X 2 不同时为0.不妨设X 1 ≠0,由于

因为A正定,有 ,由B正定知 ,所以, ,恒有x T Cx>0,即C是正定矩阵.
[证法三] C对称同前,略.
因为A,B分别是m阶,n阶正定矩阵,故存在m阶与n阶可逆矩阵D 1 与D 2 ,使得

那么,令 ,则|D|=|D 1 ||D 2 |≠0,D是可逆矩阵,且