设函数f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ
1
)＝f(χ
2
)＝f(χ
3
)＝f(χ
4
)，其中a＜χ
1
＜χ
2
＜χ
3
＜χ
4
＜b，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得
【正确答案】正确答案：因f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ
1
)＝f(χ
2
)＝f(χ
3
)＝f(χ
4
)，故分别在区间[χ
1
，χ
2
]，[χ
2
，χ
3
]，[χ
3
，χ
4
]上对函数f(χ)应用罗尔定理可得，ヨξ
1
∈(χ
1
，χ
2
)使得f′(ξ
1
)＝0，ヨξ
2
∈(χ
2
，χ
3
)使得f′(ξ
2
)＝0，ヨξ
3
∈(χ
3
，χ
4
)使得f′(ξ
3
)＝0；再在区间[ξ
1
，ξ
2
]，[ξ
2
，ξ
3
]上对一阶导函数f′(χ)应用罗尔定理得，ヨη
1
∈(ξ
1
，ξ
2
)使得f〞(η
1
)＝0，ヨη
2
∈(ξ
2
，ξ
3
)使得f〞(η
2
)＝0；最后在区间[η
1
，η
2
]上对f〞(χ)应用罗尔定理得，ヨξ∈(η
1
，η
2
)使得
(ξ)＝0．而(η
1
，η
2
)
(ξ)＝0．而(η
1
，η
2
)
【答案解析】