解答题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，作线性组合：β
1
=α
1
+μ
1
α
s
，β
2
=α
2
+μ
2
α
s
，…，β
s-1
=α
s-1
+μ
s-1
α
s
．证明向量组β
1
，β
2
，…，β
s-1
线性无关，其中s≥2，μ
i
为任意实数．
【正确答案】
【答案解析】
[证] 令k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s-1
β
s-1
=0，即
k
1
(α
1
+μ
1
α
s
)+k
2
(α
2
+μ
2
α
s
)+…+k
s-1
(α
s-1
+μ
s-1
α
s
)=0，
展开整理得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s-1
α
s-1
+(k
1
μ
1
+k
2
μ
2
+…+k
s-1
μ
s-1
)α
s
=0．
由题设α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，所以
k
1
=k
2
=…=k
s-1
=k
1
μ
1
+k
2
μ
2
+…+k
s-1
μ
s-1
=0，
故β
1
，β
2
，…，β
s-1
线性无关．
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