问答题
已知α
1
，α
2
，β
1
，β
2
均是3维向量，且α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α
1
，α
2
线性表出，又可由β
1
，β
2
线性表出．
当
，
，
，
当
，
，
，
【正确答案】
【答案解析】[证]4个3维向量α
1
，α
2
，β
1
，β
2
必线性相关，故
不全为0的k
1
，k
2
，l
1
，l
2
使
令γ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2
如果γ=0，即k 1 α 1 +k 2 α 2 =0且l 1 β 1 +l 2 β 2 =0
由α 1 ，α 2 线性无关，故必有k 1 =0，k 2 =0，同理由β 1 ，β 2 线性无关知l 1 =0，l 2 =0与k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 不全为0相矛盾．所以必有γ≠0且γ即可由α 1 ，α 2 线性表出，又可由β 1 ，β 2 线性表出．
对已知的α 1 ，α 2 ，β 1 ，β 2 设x 1 α 1 +x 2 α 2 +y 1 β 1 +y 2 β 2 =0
作初等行变换有
不全为0的k
1
，k
2
，l
1
，l
2
使
k1α1+k2α2+l1β1+l2β2
令γ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2
如果γ=0，即k 1 α 1 +k 2 α 2 =0且l 1 β 1 +l 2 β 2 =0
由α 1 ，α 2 线性无关，故必有k 1 =0，k 2 =0，同理由β 1 ，β 2 线性无关知l 1 =0，l 2 =0与k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 不全为0相矛盾．所以必有γ≠0且γ即可由α 1 ，α 2 线性表出，又可由β 1 ，β 2 线性表出．
对已知的α 1 ，α 2 ，β 1 ，β 2 设x 1 α 1 +x 2 α 2 +y 1 β 1 +y 2 β 2 =0
作初等行变换有