设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
【正确答案】正确答案：令h=
．因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在a＜c
1
＜c
2
＜…＜c
n-1
＜b，使得 f(c
1
)=a+h，f(c
2
)=a+2h，…，f(c
n-1
)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得 f(c
1
)一f(a)=f"(ξ)(c
1
一a)，ξ∈(a，c
1
)， f(c
2
)一f(c
1
)=f"(ξ
2
)(c
2
一c
1
)，ξ
2
∈(c
1
，c
2
)，… f(b)一f(c
n-1
)=f"(ξ
n
)(b一c
n-1
)，ξ∈(c
n-1
，b)， 从而有
．因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在a＜c
1
＜c
2
＜…＜c
n-1
＜b，使得 f(c
1
)=a+h，f(c
2
)=a+2h，…，f(c
n-1
)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得 f(c
1
)一f(a)=f"(ξ)(c
1
一a)，ξ∈(a，c
1
)， f(c
2
)一f(c
1
)=f"(ξ
2
)(c
2
一c
1
)，ξ
2
∈(c
1
，c
2
)，… f(b)一f(c
n-1
)=f"(ξ
n
)(b一c
n-1
)，ξ∈(c
n-1
，b)， 从而有
【答案解析】