设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．5．设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，记X=U－bY=V．
【正确答案】正确答案：(X，Y)的联合密度 f(x，y)=f
X
(x)f
Y
(y)
(Ⅰ)应用独立和卷积公式 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
f
X
(x)f
Y
(z－2x)dx． 当z＜0时，f
Z
(z)=0；当0≤z＜2时，z－2x＞0，x＜z／2， f
Z
(z)=∫
0
z／2
e
－(z－2x)
dx=1／2(1－e
－z
) 当z≥2时，z－2x≥0，x≤1， f
Z
(z)=∫
0
1
e
－(z－2x)
dx=e
－z
／2(e
2
－1)． 于是Z的概率密度为
(Ⅰ)应用独立和卷积公式 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
f
X
(x)f
Y
(z－2x)dx． 当z＜0时，f
Z
(z)=0；当0≤z＜2时，z－2x＞0，x＜z／2， f
Z
(z)=∫
0
z／2
e
－(z－2x)
dx=1／2(1－e
－z
) 当z≥2时，z－2x≥0，x≤1， f
Z
(z)=∫
0
1
e
－(z－2x)
dx=e
－z
／2(e
2
－1)． 于是Z的概率密度为
【答案解析】