设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=一2，α
1
=(1，一1，1)
T
是A的属于特征值λ
1
的一个特征向量，记B=A
5
一4A
3
+E，其中E为三阶单位矩阵。
问答题
验证α
1
是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
【正确答案】正确答案：由Aα
1
=α
1
得A
2
α
1
=Aα
1
=α
1
，依次递推，则有A
3
α
1
=α
1
，A
5
α
1
=α
1
，故 Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
一4A
3
α
1
+α
1
=一2α
1
， 即α
1
是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。 由关系式B=A
5
一4A
3
+E及A的三个特征值λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=一2得B的三个特征值为μ
1
=一2，μ
2
=l，μ
3
=1。 设α
1
，α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α
1
与α
2
、α
3
正交，即α
1
T
α
2
=0，α
1
T
α
3
=0。 因此α
2
，α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即
得其基础解系为：
。 B的全部特征向量为：
得其基础解系为：
。 B的全部特征向量为：
【答案解析】
问答题
求矩阵B。
【正确答案】正确答案：
【答案解析】