问答题
设α
1
，α
2
，…，α
t
为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 方法一 由α
1
，α
2
，…，α
t
线性无关
线性无关，
令kβ+k1(β+α 1 )+k 2 (β+α 2 )+…+k t (β+α t )=0，
即(k+k 1 +…+k t )β+k 1 α 1 +…+k t α t =0，
∵β，α 1 ，α 2 ，…，α t 线性无关
∴β，β+α 1 ，β+α 2 ，…，β+α t 线性无关．
方法二 令kβ+k 1 (β+α 1 )+k 2 (β+α 2 )+…+k t (β+α t )=0
(k+k
1
+…+k
t
)β=-k
1
α
1
-…-k
t
α
t
(k+k
1
+…+k
t
)αβ=-k
1
Aα
1
-…-k
t
Aα
t
=0，∵Aβ≠0，∴k+k
1
+…+k
t
=0，∴k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0
k=k
1
=…=k
t
=0
线性无关，
令kβ+k1(β+α 1 )+k 2 (β+α 2 )+…+k t (β+α t )=0，
即(k+k 1 +…+k t )β+k 1 α 1 +…+k t α t =0，
∵β，α 1 ，α 2 ，…，α t 线性无关
∴β，β+α 1 ，β+α 2 ，…，β+α t 线性无关．
方法二 令kβ+k 1 (β+α 1 )+k 2 (β+α 2 )+…+k t (β+α t )=0
(k+k
1
+…+k
t
)β=-k
1
α
1
-…-k
t
α
t
(k+k
1
+…+k
t
)αβ=-k
1
Aα
1
-…-k
t
Aα
t
=0，∵Aβ≠0，∴k+k
1
+…+k
t
=0，∴k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0
k=k
1
=…=k
t
=0