问答题
设A是3阶矩阵，满足
Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
1
+2α
2
，Aα
3
=α
1
+3α
2
+α
3
，
其中α
1
=[0，1，1]
T
，α
2
=[1，0，1]
T
，α
3
=[1，1，0]
T
．
证明A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P
-1
AP=A．
【正确答案】正确答案：由题设条件，合并得 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[一α
1
，α
1
+2α
2
，α
1
+3α
2
+α
3
]
其中
Q可逆，
则有AQ=QB，Q
-1
AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值．
故A，B有特征值λ
1
=一1，λ
2
=2，λ
3
=1，λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同．故
当λ
1
=一1时，(λ
1
E-B)X=0，
当λ
2
—2时，(λ
2
E-B)X=0，
当λ
3
=1时，(λ
3
E-B)X=0，
故有
使得
则
其中
Q可逆，
则有AQ=QB，Q
-1
AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值．
故A，B有特征值λ
1
=一1，λ
2
=2，λ
3
=1，λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同．故
当λ
1
=一1时，(λ
1
E-B)X=0，
当λ
2
—2时，(λ
2
E-B)X=0，
当λ
3
=1时，(λ
3
E-B)X=0，
故有
使得
则
【答案解析】