已知向量组(I)α
1
，α
2
，α
3
；(Ⅱ)α
1
，α
2
，α
3
，α
4
；(Ⅲ)α
1
，α
2
，α
3
，α
5
，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
的秩为4。
【正确答案】正确答案：要证α
1
，α
2
，α
3
,α
5
一α
4
的秩为4，只要证明α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
线性无关即可。 因为r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关，而α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，故存在数λ
1
，λ
2
， λ
3
，使 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
设存在一组数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
一α
4
)=0 将α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
代入上式有：(k
1
—λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
-λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
-λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=0 由r(Ⅲ)=4，可知
【答案解析】