问答题
已知A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)是四阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是四维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)
T
+k(1，-2，4，0)
T
，又B=(α
3
，α
2
，α
1
，β-α
4
)，求方程组Bx=3α
1
+5α
2
-α
3
的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由方程组Ax=β的解的结构，可知
r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，
且α 1 +2α 2 +2α 3 +α 4 =β，α 1 -2α 2 +4α 3 =0．
因为B=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，β-α 4 )=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )，且α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，而知r(B)=2．
由
知(-1，5，3，0) T 是方程组Bx=3α 1 +5α 2 -α 3 的一个解．
又
r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，
且α 1 +2α 2 +2α 3 +α 4 =β，α 1 -2α 2 +4α 3 =0．
因为B=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，β-α 4 )=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )，且α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，而知r(B)=2．
由
知(-1，5，3，0) T 是方程组Bx=3α 1 +5α 2 -α 3 的一个解．
又