解答题
设微分方程xf"(x)-f'(x)=2x．
(Ⅰ)求上述微分方程的通解；
(Ⅱ)求得的解在x=0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x=0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x=0处的f'(0)及f"(0)的存在性，要求写出推理过程．
(Ⅰ)求上述微分方程的通解；
(Ⅱ)求得的解在x=0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x=0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x=0处的f'(0)及f"(0)的存在性，要求写出推理过程．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)当x≠0时，原微分方程可改写为
由通解公式，有
所以
其中
与C2为任意常数．
(Ⅱ)又因为
对每一个解补充定义f(0)=C2后，有
其中
由通解公式，有
所以
其中
与C2为任意常数．(Ⅱ)又因为
对每一个解补充定义f(0)=C2后，有其中