问答题
设A为4阶方阵，有4个不同的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，λ
4
，对应的特征向量依次为α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，令β=α
1
，α
2
，α
3
，α
4
．证明：β，Aβ，A
2
β，A
3
β线性无关．
【正确答案】
【答案解析】由已知Aα
i
=λ
1
α
1
(i=1，2，3，4)，得
Aβ=A(α 1 +α 2 +α 3 +α 4 )=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +λ 3 α 3 +λ 4 α 4 ，
设存在四个常数k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使
k 1 β+k 2 Aβ+k 3 A 2 β+k 4 A 3 β=0，
即
即
由于属于不同特征值的特征向量线性无关，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关．
其系数行列式
Aβ=A(α 1 +α 2 +α 3 +α 4 )=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +λ 3 α 3 +λ 4 α 4 ，
设存在四个常数k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使
k 1 β+k 2 Aβ+k 3 A 2 β+k 4 A 3 β=0，
即
即
由于属于不同特征值的特征向量线性无关，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关．
其系数行列式