(1998年)已知α
1
＝[1，4，0，2]
T
，α
2
＝[2，7，1，3]
T
，α
3
＝[0，1，－1，a]
T
，β＝[3，10，6，4]
T
，问：
(1)a，b取何值时，β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示?
(2)a，b取何值时，β可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示?并写出此表示式．
【正确答案】正确答案：考虑线性方程组(α
1
，α
2
，α
3
)χ＝β，其中χ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
T
，对其增广矩阵
＝[α
1
α
2
α
3
β]作初等行变换：
所以(1)当b≠2时，方程组无解，此时β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示；． (2)当b＝2且a≠1时，r(A)＝r(
)＝3，方程组有唯一解： χ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
T
＝(－1，2，0)
T
， 于是β可唯一表示为β＝－α
1
＋2α
2
； (3)当b＝2且a＝1时，r(A)＝r(
＝[α
1
α
2
α
3
β]作初等行变换：
所以(1)当b≠2时，方程组无解，此时β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示；． (2)当b＝2且a≠1时，r(A)＝r(
)＝3，方程组有唯一解： χ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
T
＝(－1，2，0)
T
， 于是β可唯一表示为β＝－α
1
＋2α
2
； (3)当b＝2且a＝1时，r(A)＝r(
【答案解析】