设矩阵
问答题
已知A的一个特征值为3，试求y；
【正确答案】正确答案：因为
【答案解析】
问答题
求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。
【正确答案】正确答案：由A
T
=A，得(AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P。而矩阵
以下欲求矩阵P，使P
T
A
2
P为对角矩阵，可以考虑二次型
以下欲求矩阵P，使P
T
A
2
P为对角矩阵，可以考虑二次型
【答案解析】解析：本题是关于特征值的基本概念题。利用矩阵运算得到(AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P，从而将问题归结为实对称矩阵A
2
合同于对角矩阵的问题，这是本题求解的关键。由此自然想到利用二次型的配方法或用正交矩阵P化A
2
为对角矩阵。 注意求矩阵A
2
的属于3重特征值λ
1
=λ
2
=λ
3
=1的特征向量的方法：解齐次方程组(E一A
2
)x=0，由
系数矩阵的秩为1，故只有1个约束未知量，选x
3
为约束未知量，则x
1
，x
2
，x
4
为自由未知量(虽然方程x
3
+x
4
=0中未出现x
1
，x
2
，但约束未知量以外的未知量都是自由未知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为 x
3
=一x
4
(x
1
，x
2
，x
4
任意)，
系数矩阵的秩为1，故只有1个约束未知量，选x
3
为约束未知量，则x
1
，x
2
，x
4
为自由未知量(虽然方程x
3
+x
4
=0中未出现x
1
，x
2
，但约束未知量以外的未知量都是自由未知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为 x
3
=一x
4
(x
1
，x
2
，x
4
任意)，