设A=E+αα
T
，其中α=(α
1
,α
2
,α
3
)
T
，且α
T
α=2，求A的特征值和特征向量．
【正确答案】正确答案：由Aα=(E+αα
T
)α=α+αα
T
α=3α，于是得A的特征值λ
3
=3，其对应的特征向量为k
1
α，k
1
≠0为常数．又由A=E+αα
T
，得A—E=αα
T
，两边取行列式｜A一E｜=｜αα
T
｜=0，由此知λ
2
=1是A的另一个特征值． 再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+λ
3
，从而λ
3
=trA一4=3+α
T
α-4=1． 由于λ
2
=λ
3
=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a
1
，a
2
，a
3
)
T
≠0，不妨设a
1
≠0，则
【答案解析】解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE－A｜=0，trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
．求A的特征值与特征向量．