问答题 设A为n阶非零矩阵，存在某正整数m，使A m =O，求A的特征值，并证明A不与对角阵相似．
【正确答案】
【答案解析】设λ为A的任一特征值，X为对应的特征向量，则有Ax=λx，两端左乘A，得A 2 z=λAx=λ 2 x，再左乘A，得A 3 x=λ 3 x，一般地可得A m x=λ m x，因A m =O，得λx=0，因x≠0，得λ=0，故A的特征值全为0．因r(0E-A)=r(-A)≥1，故(0E-A)x=0的基础解系最多含n-1个向量，故A没有n个线性无关的特征向量．亦可用反证法证明A不相似于对角阵．