问答题
已知三元二次型X
T
AX经正交变换化为
，又知矩阵B满足矩阵方程
，又知矩阵B满足矩阵方程
【正确答案】
【答案解析】【解】由条件知A的特征值为2，-1，-1，则|A|=2，因为A
*
的特征值为
，所以A
*
的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A
*
关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．
由
得
则B的特征值为-2，1，1，且Bα=-2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，又B是实对称阵，α与β正交，故x
1
+x
2
-x
3
=0，解出β
1
=[1，-1，0]
T
，β
2
=[1，0，1]
T
，令
则
，所以A
*
的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A
*
关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．
由
得
则B的特征值为-2，1，1，且Bα=-2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，又B是实对称阵，α与β正交，故x
1
+x
2
-x
3
=0，解出β
1
=[1，-1，0]
T
，β
2
=[1，0，1]
T
，令
则