解答题
15.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0＜α＜π／2)的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V．
【正确答案】 因立体为非旋转体，此立体体积可按式(1．3．5．11)计算，为此先求平行截面面积A(x)．
解一 底面椭圆的方程为
=1，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为x=a
，另一直角边长为a
tanα(见图1．3．5．11)，故截面面积为
A(y)=
tanα．
由式(1．3．5．11)得楔形体的体积为
V=∫-bbA(y)dy=
tanαdy
=
tanα∫0b(b2一y2)dy=
tanα．
解二 用垂直于z轴的平行平面截此楔形体所得截面为矩形，其面积为
A(x)=2b
·x tanα．
由式(1．3．5．10)得楔形体体积为
V=∫0aA(x)dx=2btanα∫0ax
解一 底面椭圆的方程为
=1，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为x=a，另一直角边长为atanα(见图1．3．5．11)，故截面面积为A(y)=
tanα．由式(1．3．5．11)得楔形体的体积为
V=∫-bbA(y)dy=
tanαdy=
tanα∫0b(b2一y2)dy=tanα．解二 用垂直于z轴的平行平面截此楔形体所得截面为矩形，其面积为
A(x)=2b
·x tanα．由式(1．3．5．10)得楔形体体积为
V=∫0aA(x)dx=2btanα∫0ax
【答案解析】