问答题
设A为反对称矩阵，则
(1)若k是A的特征值，一k一定也是A的特征值．
(2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则η
T
η=0．
(3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．
【正确答案】正确答案：(1)若k是A的特征值，则k也是A
T
的特征值．而A
T
=一A，于是一k是A的特征值． (2)设η的特征值为λ，则Aη=λη． λη
T
η=η
T
Aη=(A
T
η)
T
η=(一Aη)
T
η=一λη
T
η． λ不为0，则η
T
η=0． (3)A为实反对称矩阵，则由上例知道，一A
2
=A
T
A的特征值都是非负实数，从而A
2
的特征值都是非正实数．设λ是A的特征值，则λ
2
是A
2
的特征值，因此λ
2
≤0，于是λ为0，或为纯虚数．