求功：(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)(微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)．
取下半球中的微元薄片，即
取小区间[x，x+dx]
[一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x
2
)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功dw
1
=(1+x)π(1一x
2
)dx．因此，对下半球做的功 w
1
=
π(1+x)(1一x
2
)dx．
取上半球中的微元薄片，即
取小区间[x，x+dx]
[0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x
2
)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw
2
=π(1一x
2
)dx．因此，对上半球做的功 w
2
=
π(1一x
2
)dx． 于是，对整个球做的功为
(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．
[x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R
2
－x
2
)dx， 又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dw=πx(R
2
一x
2
)dx．因此，所求的功
取下半球中的微元薄片，即
取小区间[x，x+dx]
[一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x
2
)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功dw
1
=(1+x)π(1一x
2
)dx．因此，对下半球做的功 w
1
=
π(1+x)(1一x
2
)dx．
取上半球中的微元薄片，即
取小区间[x，x+dx]
[0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x
2
)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw
2
=π(1一x
2
)dx．因此，对上半球做的功 w
2
=
π(1一x
2
)dx． 于是，对整个球做的功为
(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．
[x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R
2
－x
2
)dx， 又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dw=πx(R
2
一x
2
)dx．因此，所求的功
【答案解析】