(2008年)设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
＝α
2
＋α
3
．
(Ⅰ)证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
(Ⅱ)令P＝[α
1
，α
2
，α
3
]，求P
-1
AP．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设存在一组常数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
α
3
＝0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα
1
＝－α
1
，Aα
2
＝α
2
， －k
1
α
1
(k
2
＋k
3
)α
2
＋k
3
α
3
＝0 ② ①一②，得 2k
1
α
1
－k
3
α
2
＝0 ③ 因为α
1
，α
2
是A的属于不同特征值的特征向量，所以α
1
，α
2
线性无关，从而由③式知k
1
＝k
3
＝0，代入①式得k
2
α
2
＝0，又由于α
2
≠0，所以k
2
＝0，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP＝A[α
1
，α
2
，α
3
]＝[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
] ＝[－α
1
，α
2
，α
2
＋α
3
] ＝[α
1
，α
2
，α
3
]
由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P
-1
左乘上式两端，得
由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P
-1
左乘上式两端，得
【答案解析】