【正确答案】方法一：B^T=(λE+A^TA)^T=λE^T+(A^TA)^T=λE+A^T(A^T)^T=λE+A^TA=B，根据实对称矩阵的定义，故B是实对称矩阵。对任意的非零向量x，x^TA^T=(Ax)^T，有
x^T(λE+A^TA)x=x^T(λE)x+x^T(A^TA)x=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^TAx，
因x≠0，故有x^Tx＞0。(设x=(a₁，a₂，…，a_n)^T≠0，则a_i，i=1，2，…，n中至少有一个不为零，则a_i²，i=1，2，…，n中至少有一个大于零，故x^Tx=a²＞0)。
(Ax)^TAx≥0(设Ax=(b₁，b₂，…，b_n)^T，(Ax)^TAx=b_i²≥0，
因为Ax有可能为零，即有可能b_i=0，i=1，2，…，n，故这里可能取等号。)
故当λ＞0时，λx^Tx＞0。对任意的x≠0，均有
x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^Tx+(Ax)^TAx＞0，
由正定矩阵的定义，B是正定矩阵。
方法二：B正定→B的全部特征值大于零。设B有特征值μ，对应的特征向量为ξ，由特征值和特征向量的定义，Bξ=μξ，将B=λE+A^TA代入，得
(λE+A^TA)ξ=μξ，其中ξ≠0，
上式两边左乘ξ^T，得
ξ^T(λE+A^TA)ξ=λξ^Tξ+ξ^TA^TAg=λξ^Tξ+(Aξ)^T(Aξ)=μξ^Tξ，
变形得 (Aξ)^T(Aξ)=(μ—λ)ξ^Tξ。
因ξ≠0，设ξ=(c₁，c₂，…，c_n)^T≠0，则c_i，i=1，2，…，n中至少有一个不为零，则c_i²，i=1，2，…，n中至少有一个大于零，故
ξ^Tξ=c_i²＞0，(Aξ)^T(Aξ)≥0(设Aξ=(d₁，d₂，…，d_n)^T，(Aξ)^TAξ=d_i²≥0，
因为Aξ有可能为零，即有可能di=0，i=1，2，…，n，故这里可能取等号。)故