由图像可知，k>0，故A项错误；因为反比例函数的定义域为x≠0，故不能说在定义域内，y随x的增大面减小，只能说函数分别在(-∞，0)和 (0，+∞)内，y随x的增大而减小,故B项错误：当x=-1时，m=k/(-1)=-k，当x=2时，n=k/2，又因为-k＜k/2，即m＜n，故C项正确，因为k＞0，故函数f(x)图像的对称轴的直线方程是y=-x，故D项错误，因此本题选C。