问答题
设A是3阶实对称矩阵已知A的每行元素之和都是3，且A有二重特征值λ
1
=λ
2
=1．
(Ⅰ)求A的全部特征值和特征向量；
(Ⅱ)求A n (n≥2)．
(Ⅰ)求A的全部特征值和特征向量；
(Ⅱ)求A n (n≥2)．
【正确答案】
【答案解析】A为3阶矩阵，每行元素之和都是3，且记ξ
3
=(1，1，1)
T
，则有Aξ
3
=(3，3，3)
T
=3(1，1，1)
T
=3ξ
3
．且A还有特征值λ
3
=3，属于它的特征向量为ξ
3
=(1，1，1)
T
．
设ξ=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是A属于λ 1 =λ 2 =1(≠λ 3 =3)的特征向量，A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，即
，同解方程组为
故A属于λ 1 =λ 2 =1的两个线性无关的特征向量为ξ 1 =(-1，1，0) T ，ξ 2 =(-1，0，1) T ，A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =3；特征向量为ξ=k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +k 3 ξ 3 (k 2 ，k 3 不同时为0，k 1 ≠0)．
(Ⅱ)令
，则
从而
，于是
从而
设ξ=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是A属于λ 1 =λ 2 =1(≠λ 3 =3)的特征向量，A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，即
，同解方程组为
故A属于λ 1 =λ 2 =1的两个线性无关的特征向量为ξ 1 =(-1，1，0) T ，ξ 2 =(-1，0，1) T ，A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =3；特征向量为ξ=k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +k 3 ξ 3 (k 2 ，k 3 不同时为0，k 1 ≠0)．
(Ⅱ)令
，则
从而
，于是
从而