解答题
2.（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，6）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）—f（A）=f'（ξ）（b—a）。
（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且
（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且
【正确答案】（Ⅰ）作辅助函数φ（x）=f（x）一f（a）一
（x—a），易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且
根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ'（ξ）=0，即
所以f（b）—f（A）=f'（ξ）（b—a）。
（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在
（x—a），易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ'（ξ）=0，即
所以f（b）—f（A）=f'（ξ）（b—a）。
（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在
【答案解析】