问答题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及z轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

【正确答案】曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为
Y-y=y'(x)(X-x)
它与x轴的交点为[*]，由于y'(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是
[*]
又
[*]
由条件2S1-S2=1知
[*]
上式两端对x求导并化简得
yy"=(y')2
令y'=P，则上述方程化为
[*]
从而
[*]
解得P=C1y即
[*]
注意到y(0)=1，且由(*)式知y'(0)=1，则C1=1，即
[*]
由此得
y=C2ex
由y(0)=1知C2=1，故y=ex．
【答案解析】[分析] 首先要求出S1和S2的表达式，然后利用等式2S1-S2[*]1两边对x求导，将问题化为微分方程求解．