问答题
设A是n阶反对称称矩阵，A*为A的伴随矩阵.
问答题
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵；
【正确答案】由反对称矩阵定义知，AT=-A，故
|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|， 即[1-(-1)n]|A|=0．
若n=2k+1，必有|A|=0，所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=-A，由(A*)T=(AT)*有
(A*)T=(AT)*=(-A)*．
又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有
(A*)T=(-A)*=(-1)n-1A*=(-1)2kA*=A*，
即A*是对称矩阵．
|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|， 即[1-(-1)n]|A|=0．
若n=2k+1，必有|A|=0，所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=-A，由(A*)T=(AT)*有
(A*)T=(AT)*=(-A)*．
又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有
(A*)T=(-A)*=(-1)n-1A*=(-1)2kA*=A*，
即A*是对称矩阵．
【答案解析】
问答题
举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子；
【正确答案】例如，
【答案解析】
问答题
证明：如果λ是A的特征值，那么-λ也必是A的特征值.
【正确答案】若λ是A的特征值，有|λE-A|=0，那么
|-λE-A|=|(-λE-A)T|=|λE-AT|=|-λE+A|=|-(λE-A)|=(-1)n|λE-A|=0，
所以-λ是A的特征值．
|-λE-A|=|(-λE-A)T|=|λE-AT|=|-λE+A|=|-(λE-A)|=(-1)n|λE-A|=0，
所以-λ是A的特征值．
【答案解析】