问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
问答题
存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F"(x)=\f(x)．故存在c∈(a，b)，使得
，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F"(x)=\f(x)．故存在c∈(a，b)，使得
问答题
存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2)，且ξ
1
≠ξ
2
，使得f"(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1，2)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令h(x)=e
x
f(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得h"(ξ
1
)=h"(ξ
2
)=0，
问答题
存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令φ(x)=e
-x
[f"(x)+f(x)]，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
问答题
存在η∈(a，b)，使得f"(η)-3f"(η)+2f(η)=0．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令g(x)=e
-x
f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，
由罗尔定理，存在η 1 ∈(a，c)，η 2 ∈(c，b)，使得g"(η 1 )=g"(η 2 )=0，
而g"(x)=e -x [f"(x)-f(x)]且e -x ≠0，所以f"(η 1 )-f(η 1 )=0，f"(η 2 )-f(η 2 )=0．
令φ(x)=e -2x [f"(x)-f(x)]，φ(η 1 )=φ(η 2 )=0，
由罗尔定理，存在η∈(η 1 ，η 2 )
由罗尔定理，存在η 1 ∈(a，c)，η 2 ∈(c，b)，使得g"(η 1 )=g"(η 2 )=0，
而g"(x)=e -x [f"(x)-f(x)]且e -x ≠0，所以f"(η 1 )-f(η 1 )=0，f"(η 2 )-f(η 2 )=0．
令φ(x)=e -2x [f"(x)-f(x)]，φ(η 1 )=φ(η 2 )=0，
由罗尔定理，存在η∈(η 1 ，η 2 )