问答题
设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为
问答题
的一个基础解系；
【正确答案】的系数矩阵作初等行变换，有
[*]
得方程组(Ⅰ)的基础解系为
β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T
[*]
得方程组(Ⅰ)的基础解系为
β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T
【答案解析】
问答题
当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
【正确答案】设γ是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解，则
γ=x1β1+x2β2=-x3α1-x4α2
那么 x1β1+x2β2+x3α1+x4α4=0．
对系数矩阵A=(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有
[*]
[*]
由γ≠0 [*]x1，x2，x3，x4不全为0[*]r(A)＜4[*]a=-1．
当a=-1时
[*]
得基础解系
η1=(-1，-1，1，0)T，η2=(-4，-7，0，1)T
所以Ax=0的通解为
k1η1+k2η2=(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解
[*]，k1，k2为任意常数．
γ=x1β1+x2β2=-x3α1-x4α2
那么 x1β1+x2β2+x3α1+x4α4=0．
对系数矩阵A=(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有
[*]
[*]
由γ≠0 [*]x1，x2，x3，x4不全为0[*]r(A)＜4[*]a=-1．
当a=-1时
[*]
得基础解系
η1=(-1，-1，1，0)T，η2=(-4，-7，0，1)T
所以Ax=0的通解为
k1η1+k2η2=(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解
[*]，k1，k2为任意常数．
【答案解析】