【正确答案】[解] (Ⅰ)记B=αβ^T，则
[*]
由于α^Tβ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=2，故a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃不全为0，不妨设a₁≠0，b₁≠0，于是秩r(B)=1，那么
|λE-B|=λ³=(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)λ²=λ³=2λ²
所以，矩阵B的特征值为λ₁=2，λ₂=λ₃=0．那么矩阵A-E+B的特征值是3,1,1．
由于B²=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)βT=2αβ^T=2B,对矩阵B按列分块，记B=(γ₁,γ₂,γ₃)，那么由B²=2B，有
B(γ₁,γ₂,γ₃)=2(γ₁,γ₂,γ₃)
得 Bγ_i=2γ_i (i=1,2,3)
所以，矩阵B属于特征值λ=2的特征向量是α=(a₁，a₂，a₃)^T．
由(0E-B)x=0
[*]
得到基础解系
α₂=(-b₂,b₁,0)^T，α₃=(-b₃,0,b₁)^T
所以矩阵A属于特征值λ₁=3的特征向量是k₁α(k₁是非0任意常数)，属于特征值λ₂=λ₃=1的特征向量是k₂α₂+k₃α₃(k₂，k₃是不全为零的任意常数)
[证明] (Ⅱ)因为矩阵A的特征值3，1，1不为0，所以矩阵A可逆．
又因B²=2B，及A=E+B，有
(A-E)²=2(A-E) 即 A²-4A=-3E
那么 [*]
[*]
[解] (Ⅲ)因为矩阵A的特征值是3，1，1，知|A|=3．从而A^*的特征值为1，3，3．所以，A^*+E的特征值为2，4，4．那么|A^*+E|=32．

【答案解析】[评注] 注意β^Tα是1×1矩阵，是数，且[*]，而αβ^T与αβ^T是不相同的n阶矩阵，这里不要混淆．
当秩r(A)=1时，特征多项式[*]，矩阵A的特征值可立即求出．
本题用定义求A^-1是简捷的，其他方法计算量都较大．