设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．
【正确答案】正确答案：(1)由xf'(x)-2f(x)=-x
f'(x)-
f(x)=-1
f(x)=x+cx
2
． 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则 V(c)=π∫
0
1
(x+cx
2
)
2
dx
因为V''(c)=
＞0，所以c=
为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-
x
2
. (2)f'(x)=1-
，f'(0)=1，曲线f(x)=x-
x
2
在原点处的切线方程为y=x， 则A=∫
0
1
[x-(x-
x
2
)]dx=
f'(x)-
f(x)=-1
f(x)=x+cx
2
． 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则 V(c)=π∫
0
1
(x+cx
2
)
2
dx
因为V''(c)=
＞0，所以c=
为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-
x
2
. (2)f'(x)=1-
，f'(0)=1，曲线f(x)=x-
x
2
在原点处的切线方程为y=x， 则A=∫
0
1
[x-(x-
x
2
)]dx=
【答案解析】