计算题
2.设f(x)=∫0x(t－1)3dt，讨论f(x)的单调性及相应曲线的凹凸性与拐点、极值．
【正确答案】因为f(x)为变上限积分函数，定义域为(－∞，+∞)，所以
f'(x)=(x－1)3，f"(x)=3(x－1)2，
令f'(x)=0，得f(x)的唯一驻点x=1．故当x≠1时，f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)无拐点，且它在(－∞，+∞)内为凹的．
当x＜1时，f'(x)＜0，则f(x)在(－∞，1)内单调减少；
当x＞1时，f'(x)＞0，则f(x)在(1，+∞)内单调增加．
因此点x=1为函数f(x)的极小值点．
f(1)=∫01(t－1)3dt=
f'(x)=(x－1)3，f"(x)=3(x－1)2，
令f'(x)=0，得f(x)的唯一驻点x=1．故当x≠1时，f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)无拐点，且它在(－∞，+∞)内为凹的．
当x＜1时，f'(x)＜0，则f(x)在(－∞，1)内单调减少；
当x＞1时，f'(x)＞0，则f(x)在(1，+∞)内单调增加．
因此点x=1为函数f(x)的极小值点．
f(1)=∫01(t－1)3dt=
【答案解析】