设A=E+αβ
T
，其中α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
≠0，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
≠0，且α
T
β=2．
(1)求A的特征值和特征向量；
(2)求可逆P，使得P
－1
AP=A．
【正确答案】正确答案：(1)设 (E+αβ
T
)ξ=λξ． ① 左乘β
T
，β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ， 若β
T
ξ≠0，则λ=1+β
T
α=3；若β
T
ξ=0，则由①式，λ=1． λ=1时，(E－A)X=－αβ
T
X=－αβ
T
X=
[b
1
，b
2
,…，b
n
]X=0， 即[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，因α
T
β=2，故α≠0，β≠0，设b
1
≠0，则 ξ
1
=[b
2
，－b
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[b
3
，0，－b
1
，0]
T
，…，ξ
n－1
=[b
n
，0，…，0，－b
1
]
T
； λ=3时，(3E－A)X=(2E－αβ
T
)X=0，ξ
n
=α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
(2)取 P=[ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－1
，ξ
n
]=
P
－1
AP=
[b
1
，b
2
,…，b
n
]X=0， 即[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，因α
T
β=2，故α≠0，β≠0，设b
1
≠0，则 ξ
1
=[b
2
，－b
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[b
3
，0，－b
1
，0]
T
，…，ξ
n－1
=[b
n
，0，…，0，－b
1
]
T
； λ=3时，(3E－A)X=(2E－αβ
T
)X=0，ξ
n
=α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
(2)取 P=[ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－1
，ξ
n
]=
P
－1
AP=
【答案解析】