【正确答案】正确答案：（Ⅰ）假设η ^* ，ξ ₁ ，…，ξ _n—r 线性相关，则存在不全为零的数c ₀ ，c ₁ ，…，c _n—r ，使得 c ₀ η ^* + c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r =0， （1） 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A（c ₀ η ^* + c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r ）=c ₀ Aη ^* + c ₁ Aξ ₁ +…+c _n—r Aξ _n—r =c ₀ b， 其中b≠0，则c ₀ =0，于是（1）式变为 c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r =0， ξ ₁ ，…，ξ _n—r ，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ ₁ ，…，ξ _n—r 线性无关，因此c ₁ =c ₂ =…=c _n—r =0，与假设矛盾。 所以η ^* ，ξ ₁ ，…，ξ _n—r 线性无关。 （Ⅱ）假设η ^* ，η ^* +ξ ₁ ，…，η ^* +ξ _n—r 线性相关，则存在不全为零的数c ₀ ，c ₁ ，…，c _n—r ，使 c ₀ η ^* + c ₁ （η ^* +ξ ₁ ）+…+c _n—r （η ^* +ξ _n—r ）=0， 即 （c ₀ +c ₁ +…+c _n—r ）η ^* + c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r =0。 （2） 用矩阵A左乘上式两边，得0=A[（c ₀ +c ₁ +…+c _n—r ）η ^* +c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r ]=（c ₀ + c ₁ …+c _n—r ）Aη ^* +c ₁ Aξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r =（c ₀ +c ₁ …+c _n—r ）b， 因为b≠0，故c ₀ +c ₁ +…+c _n—r =0，代入（2）式，有 c ₁ ξ ₁ +…+c _n—r ξ _n—r =0， ξ ₁ ，…，ξ _n—r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ ₁ ，…，ξ _n—r 线性无关，因此c ₁ =c ₂ =…=c _n—r =0，则c ₀ =0。与假设矛盾。 综上，向量组η ^* ，η ^* + ξ ₁ ，…，η ^* +ξ _n—r 线性无关。