设X
1
，X
2
，…，X
10
是来自正态总体X～N(0，2
2
)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使
Q=aX
2
+b(X
2
+X
3
)
2
+c(X
4
+X
5
+X
6
)
2
+e(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)
2
服从χ
2
分布，并求自由度m．
【正确答案】正确答案：由于X
i
独立同分布，则有 X
1
～N(0，4)，X
2
+X
3
～N(0，8)， X
4
+X
5
+X
6
～N(0，12)，X
7
+X
8
+X
9
+X
10
～N(0，16)． 于是
(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)相互独立都服从标准正态分布N(0，1)．由χ分布的典型模式可知
(X
4
+X
5
+X
6
)
2
+
(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)
2
～χ
2
(4)． 所以，当a=
(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)相互独立都服从标准正态分布N(0，1)．由χ分布的典型模式可知
(X
4
+X
5
+X
6
)
2
+
(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)
2
～χ
2
(4)． 所以，当a=
【答案解析】