选择题
3.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
【正确答案】
B
【答案解析】【解法1】应选(B)．
设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而
所以α1，A(α1+α2)线性无关
即选项(B)正确．
【解法2】 由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)
故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为
设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而
所以α1，A(α1+α2)线性无关
即选项(B)正确．【解法2】 由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)
故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为