解答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＞0．证明：
问答题
若f'(ξ)=0，则存在x1，x2∈(a，b)且x1＜ξ＜x2，使得f(x1)=f(x2)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为f"(ξ)＞0，f'(ξ)=0，故ξ是f的极小值点．
f在[a，ξ]上有最大值f(t1)．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t2)．
不妨设f(t1)≤f(t2)，由连续函数的介值定理可得，存在x0∈[ξ，b]，使得f(x0)=f(t1)．
即有x1=t1，x2=x0使得f(x1)=f(x2)．
f在[a，ξ]上有最大值f(t1)．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t2)．
不妨设f(t1)≤f(t2)，由连续函数的介值定理可得，存在x0∈[ξ，b]，使得f(x0)=f(t1)．
即有x1=t1，x2=x0使得f(x1)=f(x2)．
问答题
若f'(ξ)≠0，则存在η1＜ξ＜η2，其中η1，η2∈(a，b)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由f'(ξ)≠0，令g(x)=f(x)-f'(ξ)x，则g'(ξ)=f'(ξ)-f'(ξ)=0．
于是g(x)符合第(1)小题的条件，即存在η1，η2∈(a，b)满足η1＜ξ＜η2，使得
g(η1)=g(η2)，即
将g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到
即
于是g(x)符合第(1)小题的条件，即存在η1，η2∈(a，b)满足η1＜ξ＜η2，使得
g(η1)=g(η2)，即
将g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到
即