问答题
设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f"(1)=0，
【正确答案】
【答案解析】证明 方法一 先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d，使得
P(0)=f(0)=1，P"(1)=f"(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．
则
令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c 1 ∈(0，1)，c 2 ∈(1，2)．使得g"(c 1 )=g"(1)=g"(c 2 )=0，又存在d 1 ∈(c 1 ，1)，d 2 ∈(1，c 2 )使得g"(d 1 )=g"(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d 1 ，d 2 )
(0，2)，使得g""(ξ)=0，而g""(x)=f""(x)-2，所以f""(ξ)=2．
方法二 由泰勒公式，得
两式相减，得
P(0)=f(0)=1，P"(1)=f"(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．
则
令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c 1 ∈(0，1)，c 2 ∈(1，2)．使得g"(c 1 )=g"(1)=g"(c 2 )=0，又存在d 1 ∈(c 1 ，1)，d 2 ∈(1，c 2 )使得g"(d 1 )=g"(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d 1 ，d 2 )
(0，2)，使得g""(ξ)=0，而g""(x)=f""(x)-2，所以f""(ξ)=2．
方法二 由泰勒公式，得
两式相减，得