填空题
假设D是矩阵A的，r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0． 1
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：“是”．
【答案解析】解析：证 在题设条件下可以证明A的秩为r，故A中一切r+1阶子式都为0． 证明A的秩为r的方法不是唯一的，下面利用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明A的秩为r，设A= (α
ij
)
m×n
满足题设条件，不失一般性，设r＜m≤n，并设A的非零的r阶子式D位于A的左上角，即
由题设，A的左上角的r+1阶子式(它含D)
故D
r+1
的行向量组线性相关，而D
r+1
的前r行线性无关，所以D
r+1
的第r+1行可由前r行线性表示．因此，通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r+1行，就可把A化成
由行列式的性质知上面化成矩阵的前r+1行中的一切r+1阶子式都是A的相应子式．因此前r+1行中含D的子式都为0，于是有α′
r+1，r+1
=…α′
r+1，n
=0，即经上述初等变换已将A的第r+1行化成了零行，同理可通过初等行变换将A的第r+2，…，第m行都化成零行，即经若干次初等行变换可将A化成
由题设，A的左上角的r+1阶子式(它含D)
故D
r+1
的行向量组线性相关，而D
r+1
的前r行线性无关，所以D
r+1
的第r+1行可由前r行线性表示．因此，通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r+1行，就可把A化成
由行列式的性质知上面化成矩阵的前r+1行中的一切r+1阶子式都是A的相应子式．因此前r+1行中含D的子式都为0，于是有α′
r+1，r+1
=…α′
r+1，n
=0，即经上述初等变换已将A的第r+1行化成了零行，同理可通过初等行变换将A的第r+2，…，第m行都化成零行，即经若干次初等行变换可将A化成