问答题
试讨论曲线y=f(x)=e
x
+ax
3
的拐点的个数，其中a为常数．
【正确答案】
【答案解析】[分析] 曲线y=f(x)的拐点就是使其二阶导函数f"(x)从正变到负或从负变到正的点，因而应先求出
，并研究g(x)在其零点两侧的符号．显然，a=0时g(x)无零点；a＞0且x≥0时g(x)无零点；a＜0且x≤0时g(x)无零点．故只需讨论a＞0，x＜0时与a＜0，x＞0时的情形．
[解法一] 考察g(x)的单调性区间，
，g(0)及g(x)的极值的正负号．
(Ⅰ)a＞0，x∈(-∞，0]时，由
g"(x)=e x +6a＞0
g(x)在(-∞，0]单调上升，又
由二者异号知g(x)在(-∞，0)有唯一零点，记为x 1 ，如图(1)，且零点两侧g(x)异号．因此a＞0时曲线y=f"(x)有唯一拐点(x 1 ，f(x 1 ))．
(Ⅱ)a＜0，x∈[0，+∞)时，由
(如图(2))，
可知g(x)在[0，x * ]单调下降，在[x * ，+∞)单调上升，故g(x)＞g(x * )(x∈[0，+∞)，x≠x * )．又由于
g(x * )=e ln(-6a) +6aln(-6a)
可见当
时g(x)≥g(x
*
)≥0(x≥0)，即y=f(x)无拐点．
当
时g(x)＜0，又g(0)=1，且
从而g(x)在(0，x * )，(x * ，+∞)各有唯一零点，分别记为x 1 ，x 2 ，如图(3)，且在零点两侧g(x)异号．因此当
时f(x)有且仅有两个拐点(x
1
，f(x
1
))与(x
2
，f(x
2
))，其中x
1
∈(0，x
*
)，x
2
∈(x
*
，+∞)．
[解法二] 显然g(0)≠0，于是g(x)的零点且零点两侧g(x)异号等价于
的零点且两侧h(x)异号．下面考察h(x)的单调性区间，
及h(x)的极值的正负号．由于
(Ⅰ)当x∈(-∞，0)时h(x)单调下降，又
于是当Ⅱ＜0时h(x)在(-∞，0)无零点，即y=f(x)在(-∞，0)无拐点；当x＞0时h(x)在(-∞，0)有唯一零点且两侧h(x)异号(如图(4))，即y=f(x)在(-∞，0)有唯一拐点．
(Ⅱ)当x∈(0，+∞)时h(x)在(0，1]单调下降，在[1，+∞)单调上升，从而h(x)＞h(1)(x＞0，x≠1)．又由
可知，当
时h(x)≥h(1)≥0(x＞0)，即y=f(x)在(0，+∞)无拐点(如图(5))；当
时h(1)＜0，又由
即知h(x)在(0，1)，(1，+∞)各有唯一零点(分别记为x 1 ，x 2 ，如图(6))且在零点两侧h(x)异号．因此，
时y=f(x)有且仅有两个拐点(x
1
，f(x
1
))，(x
2
，f(x
2
))，其中x
1
∈(0，1)，x
2
∈(1，+∞)．
综上分析，结论是当a＞0时y=f(x)有唯一拐点(且横坐标为负)；当
时y=f(x)无拐点；当
，并研究g(x)在其零点两侧的符号．显然，a=0时g(x)无零点；a＞0且x≥0时g(x)无零点；a＜0且x≤0时g(x)无零点．故只需讨论a＞0，x＜0时与a＜0，x＞0时的情形．
[解法一] 考察g(x)的单调性区间，
，g(0)及g(x)的极值的正负号．
(Ⅰ)a＞0，x∈(-∞，0]时，由
g"(x)=e x +6a＞0
g(x)在(-∞，0]单调上升，又
由二者异号知g(x)在(-∞，0)有唯一零点，记为x 1 ，如图(1)，且零点两侧g(x)异号．因此a＞0时曲线y=f"(x)有唯一拐点(x 1 ，f(x 1 ))．
(Ⅱ)a＜0，x∈[0，+∞)时，由
(如图(2))，
可知g(x)在[0，x * ]单调下降，在[x * ，+∞)单调上升，故g(x)＞g(x * )(x∈[0，+∞)，x≠x * )．又由于
g(x * )=e ln(-6a) +6aln(-6a)
可见当
时g(x)≥g(x
*
)≥0(x≥0)，即y=f(x)无拐点．
当
时g(x)＜0，又g(0)=1，且
从而g(x)在(0，x * )，(x * ，+∞)各有唯一零点，分别记为x 1 ，x 2 ，如图(3)，且在零点两侧g(x)异号．因此当
时f(x)有且仅有两个拐点(x
1
，f(x
1
))与(x
2
，f(x
2
))，其中x
1
∈(0，x
*
)，x
2
∈(x
*
，+∞)．
[解法二] 显然g(0)≠0，于是g(x)的零点且零点两侧g(x)异号等价于
的零点且两侧h(x)异号．下面考察h(x)的单调性区间，
及h(x)的极值的正负号．由于
(Ⅰ)当x∈(-∞，0)时h(x)单调下降，又
于是当Ⅱ＜0时h(x)在(-∞，0)无零点，即y=f(x)在(-∞，0)无拐点；当x＞0时h(x)在(-∞，0)有唯一零点且两侧h(x)异号(如图(4))，即y=f(x)在(-∞，0)有唯一拐点．
(Ⅱ)当x∈(0，+∞)时h(x)在(0，1]单调下降，在[1，+∞)单调上升，从而h(x)＞h(1)(x＞0，x≠1)．又由
可知，当
时h(x)≥h(1)≥0(x＞0)，即y=f(x)在(0，+∞)无拐点(如图(5))；当
时h(1)＜0，又由
即知h(x)在(0，1)，(1，+∞)各有唯一零点(分别记为x 1 ，x 2 ，如图(6))且在零点两侧h(x)异号．因此，
时y=f(x)有且仅有两个拐点(x
1
，f(x
1
))，(x
2
，f(x
2
))，其中x
1
∈(0，1)，x
2
∈(1，+∞)．
综上分析，结论是当a＞0时y=f(x)有唯一拐点(且横坐标为负)；当
时y=f(x)无拐点；当